Theorem 1. 다음이 성립한다.
\[\mathbb{Z}[[t]]/(t-p)\cong \mathbb{Z}_p\]
우선, 함수를 하나 정의할 것입니다.
Definition 1.\(E_p : \mathbb{Z}[[t]] \to \mathbb{Z}_p\)를
$$ E_p (f) = f(p) $$
로 정의한다.
여기서, \(E_p\)는 함수 \(f\)에다 \(p\)를 대입한단 의미를 갖고 있습니다. 여기서 \(E_p\)는 잘 정의되는데, 왜냐하면
\[f(t)=f_0 + f_1 t+ f_2 t^2+\cdots\]
일 때
\[\lim_{n\to\infty} |f_n p^n|_p = 0\]
이고, 따라서
\[f_0 +f_1 p + f_2p^2+\cdots\]
는 수렴하기 떄문입니다.
우선, 보조정리를 하나 증명합시다.
Lemma 1. \(E_p(f)=0\)일 필요충분조건은 어떤 \(g\in \mathbb{Z}[[t]]\)이 있어 \(f(t)=(t-p)g(t)\)인 것이다.
역방향의 명제는 자명하므로, 여기선 정방향의 명제만 증명하기로 합시다.
Proof of Lemma 1. \(f(t)=f_0 + f_1 t +f_2 t^2+\cdots \)가 \(E_p(f)=0\)를 만족할 때, 다음을 만족하는 \(g(t)=g_0 +g_1 t+g_2 t^2 +\cdots\)를 구성할 것입니다.
\[f(t)=(t-p)g(t)\]
저러한 \(g(t)\)가 있다면 다음이 성립해야 함은 쉽게 알 수 있습니다. 또한 계수가 밑과 같이 정의된 \(g\)는 위의 식을 만족할 것입니다.
\[f_0 = -pg_0, \quad f_1 = g_0 -pg_1, \quad f_2 = g_1-pg_2 , \quad \cdots\]
우선, \(f_0 = -pg_0\)인 \(g_0\)를 구해 봅시다. \(\mathbb{Z}_p\)에서 \(f(p)=0\)이므로 \[f(p)\equiv 0 \pmod p\]입니다. 따라서
\[f_0 \equiv 0 \pmod p\]
입니다. 따라서 어떤 정수 \(g_0\)가 있어 \(f_0=-pg_0\)를 만족합니다.
이제 \(g_0,\>g_1,\cdots,g_{n-1}\)이 위와 같이 정의되었다고 합시다. \(\mathbb{Z}_p\)에서 \(f(p)=0\)이므로 \[f(p)\equiv 0 \pmod {p^{n+1}}\]입니다. 따라서
\[f_0 + f_1 p +\cdots + f_n p^n \equiv 0 \pmod {p^{n+1}}\]
여기서 \(f_0=-pg_0,\> f_1=g_0-pg_1,\> f_2 = g_1-pg_2,\>\cdots, f_{n-1}=g_{n-2}-pg_{n-1}\)을 대입하면
\[-p^{n-1} g_{n-1} + p^{n} f_n \equiv 0 \pmod {p^{n+1}}\]
따라서
\[-g_{n-1} + f_n \equiv 0 \pmod p\]
이다. 위와 같은 이유로, 우리들은 \(f_n = g_{n-1}-g_n p\)인 \(g_n\)을 찾을 수 있습니다.
이로써 우리들은 \(f(t)=(t-p)g(t)\)를 만족하는 \(g(t)\)를 구했습니다. 따라서 보조정리의 증명이 끝납니다.
Corollary 1. \(\ker E_p = (t-p)\mathbb{Z}[[t]]\)
이제, 주어진 명제를 증명하겠습니다.
Proof of Theorem. 우선, 명백히 \(E_p\)는 전사입니다. Projection \(\pi: \mathbb{Z}[[t]] \twoheadrightarrow \mathbb{Z}[[t]]/(t-p) \)이 주어졌다고 합시다. 이 때 \(\ker \pi =\ker E_p\)이고 \(E_p\) 또한 전사이므로, 동형사상 \(\phi: \mathbb{Z}[[t]]/(t-p) \cong \mathbb{Z}_p\)가 존재합니다.
Conjecture.
\[\mathbb{Z}((t))/(t-p)\cong \mathbb{Q}_p\]
\(\mathbb{Z}((t))/(t-p)\)가 \(\mathbb{Z}[[t]]/(t-p)\)의 Fraction field임을 보이면 증명이 끝날 듯 한데, 나중에 시간이 나면 한 번 해 보도록 하겠습니다.